미분 적분 방정식을 스토리*****스토리 파노라마

미분 적분 방정식을 스토리*****스토리 파노라마

 

 

 

 

 

 

 

미분 적분 방정식을 스토리를 파노라마로

 

 

미분 적분 방정식, 파노라마처럼 펼쳐지는 이야기

자, 이제 미분 적분 방정식이라는 마법 같은 도구를 가지고, 우리 주변의 다양한 풍경 속으로 한번 떠나볼까요? 마치 파노라마 사진처럼 넓게 펼쳐진 세상을 미분과 적분이라는 렌즈를 통해 살펴보는 거예요.

 

첫 번째 풍경: 언덕을 굴러가는 공

우리가 처음 만났던 달팽이보다 조금 더 역동적인 풍경입니다. 언덕 위에 놓인 공이 중력에 의해 아래로 굴러가기 시작합니다.

 

• 미분의 눈: 미분은 이 공의 아주 짧은 순간의 움직임, 즉 속도와 그 속도가 얼마나 빠르게 변하는지 (바로 가속도) 에 주목합니다. 마치 슬로우 모션으로 아주 짧은 순간을 쪼개서 보는 것과 같아요. 언덕의 경사가 가파를수록 공의 속도는 더 빠르게 변하겠죠? 이 속도 변화율을 나타내는 것이 바로 미분 방정식의 핵심입니다. "현재 속도는 이렇고, 앞으로 속도는 이렇게 변할 거야!" 라고 알려주는 규칙인 셈이죠.
• 적분의 눈: 적분은 이 공이 굴러가기 시작한 순간부터 지금까지 총 얼마나 먼 거리를 이동했는지에 관심을 갖습니다. 마치 영화의 모든 장면을 이어 붙여서 전체 이야기를 보는 것과 같아요. 아주 짧은 순간 동안 움직인 작은 거리들을 모두 더하면, 결국 공이 이동한 전체 거리를 알 수 있게 됩니다. 이것이 바로 적분의 힘입니다.

 

두 번째 풍경: 숲 속의 토끼 가족

이번에는 살아있는 생명체의 변화를 살펴볼까요? 어느 숲 속에 토끼 한 쌍이 살고 있습니다. 시간이 지날수록 토끼들은 번식을 하고, 그 수가 점점 늘어나겠죠?

 

• 미분의 눈: 미분은 현재 토끼 수에 비해 얼마나 많은 토끼가 새로 태어나는지 그 변화율에 집중합니다. 먹이가 풍부하고 천적이 없다면 토끼 수는 빠르게 늘어날 거예요. 이 개체 수 변화율을 설명하는 것이 바로 또 다른 형태의 미분 방정식입니다. "지금 토끼는 이만큼 있는데, 앞으로 얼마나 빠르게 늘어날까?" 하는 규칙을 나타내는 것이죠.
• 적분의 눈: 적분은 처음 토끼 한 쌍이 살기 시작한 시점부터 지금까지 총 몇 마리의 토끼가 태어났는지, 혹은 특정 시점까지 총 몇 마리의 토끼가 살아남았는지를 계산합니다. 매 순간 늘어나는 토끼 수를 모두 더하면 전체 토끼 수를 알 수 있는 것이죠.

 

세 번째 풍경: 은행의 예금 잔고

우리가 은행에 돈을 저금하면 시간이 지날수록 이자가 붙어서 잔고가 늘어납니다.

 

• 미분의 눈: 미분은 현재 잔고에 대해 얼마나 많은 이자가 붙는지, 즉 잔고 변화율에 주목합니다. 이자율이 높을수록 잔고는 더 빠르게 늘어나겠죠? 이 잔고 변화율을 나타내는 것이 바로 미분 방정식입니다. "지금 내 돈은 이만큼 있는데, 앞으로 얼마나 불어날까?" 하는 규칙을 보여주는 것이죠.
• 적분의 눈: 적분은 처음 돈을 저금한 시점부터 지금까지 총 얼마나 많은 이자가 쌓였는지, 혹은 특정 시점의 총 예금액을 계산합니다. 매 순간 쌓이는 이자를 모두 더하면 최종 잔고를 알 수 있는 것이죠.

 

네 번째 풍경: 호수에 퍼지는 잉크

맑은 호수에 잉크 한 방울을 떨어뜨리면, 잉크는 천천히 퍼져나가 호수 전체를 물들입니다.

• 미분의 눈: 미분은 잉크가 현재 얼마나 넓은 영역으로 퍼져나가고 있는지, 그 확산 속도에 주목합니다. 잉크의 농도나 물의 흐름에 따라 퍼지는 속도는 달라질 수 있겠죠. 이 확산 속도 변화율을 설명하는 것이 바로 미분 방정식입니다. "지금 잉크는 이렇게 퍼지고 있는데, 앞으로 얼마나 더 넓게 퍼질까?" 하는 규칙을 알려주는 것이죠.
• 적분의 눈: 적분은 특정 시간 동안 잉크가 퍼져나간 총 면적이나, 호수 전체에 잉크가 얼마나 균일하게 퍼졌는지 등을 계산합니다. 아주 작은 영역으로 퍼져나간 잉크의 넓이를 모두 더하면 전체 퍼진 면적을 알 수 있는 것이죠.

 

파노라마의 연결:

어떠신가요? 언덕을 굴러가는 공, 숲 속의 토끼, 은행의 예금, 호수에 퍼지는 잉크. 겉보기에는 모두 다른 풍경이지만, 이 모든 변화의 뒤에는 미분과 적분이라는 강력한 도구가 숨어 있습니다.

 

미분 방정식은 우리가 살고 있는 세상의 변화의 규칙을 설명해 줍니다. "지금 이렇다면, 앞으로는 어떻게 될 것이다" 라는 예측을 가능하게 해 주죠.

 

적분은 그 변화의 규칙을 바탕으로 전체적인 결과를 알려줍니다. "처음부터 지금까지 총 얼마나 변했을까?" 하는 질문에 답을 해 주는 것이죠.

 

마치 사진 조각들을 하나하나 이어 붙여 전체 파노라마 사진을 완성하듯이, 미분과 적분은 우리 주변의 다양한 변화들을 이해하고 예측하는 데 없어서는 안 될 중요한 도구입니다. 이 두 가지 마법 렌즈를 통해 우리는 세상을 더욱 깊이 있게 이해할 수 있게 되는 것이죠.

 

 

 

 

 

미분 적분 방정식, 이야기로 풀어볼까요?

 

옛날 옛날 아주 먼 옛날, 호기심 많은 소녀 미분이와 꼼꼼한 소년 적분이가 살았습니다.

미분이는 무엇이든 아주 작게 나누어 보는 것을 좋아했어요. 예를 들어, 언덕길을 걷는 사람을 보면, 그 사람이 지금 얼마나 빠르게 걷고 있는지, 그 속도가 얼마나 빠르게 변하고 있는지를 알고 싶어 했죠. 마치 아주 짧은 순간의 속도 변화를 확대경으로 들여다보는 것처럼 말이에요.

 

어느 날, 미분이는 언덕길을 따라 굴러가는 공을 보았습니다. "저 공은 지금 얼마나 빠를까? 그리고 점점 더 빨라지고 있는데, 그 속도 변화는 얼마나 될까?" 미분이는 끊임없이 질문하며 공의 움직임을 아주 짧은 순간으로 나누어 분석했습니다.

반면 적분이는 모든 것을 합쳐서 전체를 보는 것을 좋아했어요. 아까 그 언덕길을 걷는 사람을 보면, 그 사람이 지금까지 얼마나 먼 거리를 걸어왔는지를 알고 싶어 했죠. 마치 그 사람이 걸어온 모든 작은 발자국들을 하나하나 세어 합치는 것처럼 말이에요.

 

똑같이 굴러가는 공을 보면서 적분이는 생각했습니다. "저 공은 처음부터 지금까지 총 얼마나 굴러간 걸까? 공이 굴러가는 짧은 순간들의 거리를 모두 더하면 알 수 있을 텐데." 적분이는 공이 지나온 자리를 꼼꼼하게 살펴보며 이동 거리를 합쳐 나갔습니다.

 

어느 날, 미분이는 적분이에게 자신의 고민을 털어놓았습니다. "나는 공의 아주 짧은 순간의 속도 변화는 알 수 있는데, 얘가 지금까지 얼마나 굴러갔는지는 잘 모르겠어."

 

적분이도 마찬가지였습니다. "나는 공이 굴러간 총 거리는 알 수 있지만, 지금 이 순간 얼마나 빠른지는 정확히 모르겠어."

둘은 곰곰이 생각했습니다. 그러다 문득 깨달았죠.

 

"미분이가 쪼개서 본 아주 작은 속도 변화들을 모두 합치면, 전체 이동 거리를 알 수 있지 않을까?" (이것이 바로 적분의 아이디어였어요!)

"반대로, 적분이가 합쳐서 본 전체 이동 거리를 아주 짧은 시간으로 나누면, 그 순간의 속도를 알 수 있지 않을까?" (이것이 바로 미분의 아이디어였답니다!)

이렇게 미분이는 아주 작은 변화율을 통해 전체를 이해하는 방법을, 적분이는 전체를 통해 아주 작은 변화율을 이해하는 방법을 서로에게 알려주었습니다.

마침내 미분이는 공의 속도 변화율(가속도)을 이용하여 공의 현재 속도를 알아낼 수 있었고, 더 나아가 그 속도를 이용하여 공이 얼마나 멀리 굴러갔는지까지 계산할 수 있게 되었답니다. (이것이 바로 미분 방정식을 풀어서 공의 움직임을 예측하는 과정과 비슷해요!)

적분이 역시 공이 굴러간 총 거리를 이용하여 특정 순간의 속도를 알아낼 수 있게 되었죠. (이것은 미분 방정식의 해를 이용하여 특정 값을 구하는 것과 같아요!)

 

이후로 미분이와 적분이는 서로의 능력을 빌려 세상의 다양한 변화를 이해하고 예측하는 데 큰 도움을 주었습니다.

예를 들어,

• 미분이는 자동차가 얼마나 빠르게 속도를 높이는지 (가속도) 를 분석하여 안전한 운전을 돕고, 건물의 온도 변화율을 분석하여 에너지 효율을 높이는 데 활용되었어요.
• 적분이는 댐에 얼마나 많은 물이 저장되어 있는지 계산하거나, 로켓이 날아간 총 거리를 계산하는 데 활용되었답니다.

이처럼 미분과 적분은 서로 떼려야 뗄 수 없는 관계이며, 우리 주변의 다양한 현상을 이해하고 설명하는 데 아주 중요한 역할을 하고 있습니다. 마치 퍼즐 조각처럼, 미분으로 쪼개보고 적분으로 합쳐보면서 우리는 세상의 복잡한 움직임을 더 잘 이해할 수 있게 되는 것이죠.

 

 

 

 

아주아주 쉬운 미분 적분 방정식 이야기

옛날 옛날 아주 먼 옛날, 아주 느릿느릿 🐌 달팽이 한 마리가 살았습니다.

이 달팽이는 매일 똑같은 속도로 움직였어요. 딱 1초에 1센티미터씩 앞으로 나아가는 아주 꾸준한 달팽이였죠.

어느 날, 심심해진 달팽이가 궁금해졌어요.

 

"내가 지금 1초에 1센티미터씩 가고 있는데, 5초 후에는 도대체 얼마나 멀리 가 있을까?"

 

달팽이는 곰곰이 생각했어요.

• 1초 후: 1센티미터
• 2초 후: 1센티미터 + 1센티미터 = 2센티미터
• 3초 후: 2센티미터 + 1센티미터 = 3센티미터
• 4초 후: 3센티미터 + 1센티미터 = 4센티미터
• 5초 후: 4센티미터 + 1센티미터 = 5센티미터

"아하! 5초 후에는 5센티미터나 가 있겠구나!" 달팽이는 아주 기뻤답니다.

여기서 달팽이가 매 순간 얼마나 움직이는지 (1초에 1센티미터) 를 아는 것이 바로 미분과 비슷한 생각이에요. 아주 짧은 시간 동안의 변화를 보는 거죠.

 

그리고 그 매 순간의 움직임을 모두 더해서 (1cm + 1cm + 1cm + 1cm + 1cm = 5cm) 전체 움직인 거리를 알아내는 것이 바로 적분과 비슷한 생각이에요. 작은 변화들을 모두 합쳐서 전체를 보는 거죠.

 

이번에는 달팽이가 조금 더 똑똑해졌어요.

"내가 5초 동안 총 5센티미터를 움직였는데, 그럼 내 속도는 얼마나 될까?"

달팽이는 다시 곰곰이 생각했어요.

 

"5초 동안 5센티미터를 갔으니까, 5센티미터를 5초로 나누면... 1센티미터/초! 내 속도는 1초에 1센티미터구나!"

이렇게 전체 움직인 거리 (5센티미터) 를 걸린 시간 (5초) 으로 나누어서 순간의 속도 (1센티미터/초) 를 알아내는 것도 미분과 적분의 관계와 비슷하답니다.

 

미분 방정식은 마치 "지금 달팽이가 얼마나 빠르게 움직이는지"에 대한 규칙을 알려주는 것이고, 적분은 그 규칙을 이용해서 "그럼 달팽이가 앞으로 얼마나 멀리 갈 수 있을까?"를 알아내는 것이라고 생각하면 아주 쉬울 거예요! 😊

 

 

 

 

 

 

 

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